- モーメントから重心ってどう求めるの？
- 「面積×距離」のモーメントってなに？
- L形・T形断面の重心はどう計算するの？
- 公式 Σ(Aᵢxᵢ)/ΣAᵢ ってどう使うの？
- 構造計算のどこで重心を使うの？
- 計算で間違えやすいポイントは？
上記の様な悩みを解決します。
L形鋼やT形鋼の断面、不規則な断面の重心位置を求めるとき、必ず使うのが「モーメントから重心を求める方法」です。これを知っておくと、複雑な断面でも順序立てて重心が求められ、そこから断面二次モーメント・断面係数といった構造設計の基本量にも繋げられます。今回は建築の技術知識として、モーメントと重心の関係を整理してみます。
なるべく分かりやすい表現で記事をまとめていくので、初心者の方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
モーメントと重心の関係とは？
モーメントと重心の関係とは、結論「各部分の『面積×基準軸からの距離』の総和を、全体の面積で割ったものが重心位置になる」という関係のことです。
式で表すと
ある基準軸からの重心位置 x_G は、
x_G ＝ Σ(Aᵢ × xᵢ) / ΣAᵢ
ここで、
– Aᵢ：分割した各部分の面積
– xᵢ：各部分の重心の x 座標（基準軸からの距離）
– ΣAᵢ：全体の面積
これは図形（断面）の重心を求める基本式で、構造力学・断面性能計算のスタート地点になります。
「モーメント」と「面積モーメント」の用語整理
「モーメント」という言葉は文脈で意味が変わります。
| 種類 | 定義 | 用途 |
|---|---|---|
| 力のモーメント | 力 × 距離 | 構造解析の応力計算 |
| 面積モーメント（断面一次モーメント） | 面積 × 距離 | 重心位置の計算 |
| 断面二次モーメント | 面積 × 距離² | 曲げ剛性の計算 |
| 質量モーメント | 質量 × 距離 | 動力学・重心計算 |
重心を求めるときに使うのは 面積モーメント（断面一次モーメント、記号G） です。これと全面積から、重心位置がパッと出てくる、という構造です。
面積モーメント G の定義
ある基準軸まわりの面積モーメント G は、
G ＝ Σ(Aᵢ × xᵢ)
つまり「重心位置 ＝ 面積モーメント ÷ 全面積」と整理できます。
断面二次モーメントの話はこちらも参考に。
モーメントから重心を求める公式
重心算出の基本公式を整理します。
水平方向の重心 x_G
x_G ＝ Σ(Aᵢ × xᵢ) / ΣAᵢ
各部分の重心の x 座標に面積を掛けたものを全部足して、全面積で割る。
鉛直方向の重心 y_G
y_G ＝ Σ(Aᵢ × yᵢ) / ΣAᵢ
同じ考え方を y 軸でもやるだけです。
質量の場合（密度が異なる物体）
材料の密度が違う場合は、面積を質量に置き換えます。
x_G ＝ Σ(mᵢ × xᵢ) / Σmᵢ
均一な板材なら、面積 ∝ 質量なので、結果は同じです。
3次元の場合
立体の重心は、x、y、z それぞれで同じ計算を3回繰り返します。
x_G ＝ Σ(Vᵢ × xᵢ) / ΣVᵢ
ここで Vᵢ は分割した各部分の体積です。
モーメントから重心を求める計算手順
L形断面を例に、計算手順を具体化します。
例題：L形断面の重心を求める
下記のような L形断面を考えます。
- 縦の脚：幅50mm × 高さ100mm（A₁ ＝ 5,000 mm²）
- 横の脚：幅100mm × 高さ50mm（A₂ ＝ 5,000 mm²）
- 全体は左下角を原点に、L字の凹みは右上向き
手順1：座標系を設定
L字の 左下角を原点（0, 0） に置き、右方向を x、上方向を y とします。
手順2：図形を単純な長方形に分割
L形断面を 2つの長方形 に分割します。
- A₁：縦の脚（幅50、高さ100） → A₁ ＝ 5,000 mm²
- A₂：横の脚（幅100、高さ50、ただし縦の脚と重ならない部分は 50 × 50 ＝ 2,500 mm²）
ここで分割の取り方は「重ならない単純な長方形」と「足し引き法」の2通りあります。今回は 重ならない長方形 で分割しましょう。
| 番号 | 説明 | 幅 | 高さ | A [mm²] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 縦の脚（全部） | 50 | 100 | 5,000 |
| 2 | 横の脚の右側（縦の脚と重ならない部分） | 50 | 50 | 2,500 |
合計面積 ΣA ＝ 5,000 ＋ 2,500 ＝ 7,500 mm²
手順3：各部分の重心座標を計算
| 番号 | xᵢ（重心の x） | yᵢ（重心の y） |
|---|---|---|
| 1 | 50/2 ＝ 25 | 100/2 ＝ 50 |
| 2 | 50 ＋ 50/2 ＝ 75 | 50/2 ＝ 25 |
各長方形の重心は 長方形の対角線の交点（中心） にあるので、幅と高さの半分の位置です。
手順4：面積モーメントを計算
x 方向の面積モーメント
Gx ＝ A₁ × x₁ ＋ A₂ × x₂ ＝ 5,000 × 25 ＋ 2,500 × 75 ＝ 125,000 ＋ 187,500 ＝ 312,500 mm³
y 方向の面積モーメント
Gy ＝ A₁ × y₁ ＋ A₂ × y₂ ＝ 5,000 × 50 ＋ 2,500 × 25 ＝ 250,000 ＋ 62,500 ＝ 312,500 mm³
手順5：重心位置を計算
x_G ＝ Gx / ΣA ＝ 312,500 / 7,500 ＝ 41.67 mm
y_G ＝ Gy / ΣA ＝ 312,500 / 7,500 ＝ 41.67 mm
L字断面の重心は、左下角から見て (41.67, 41.67) の位置 にあると分かりました。
手順6：感覚チェック
L字は左下が「凸」、右上が「凹」なので、重心は左下に寄るはず。
→ 全体外径100×100の中で重心が(41.67, 41.67)に出たのは、確かに左下寄り。妥当な結果と判断できます。
モーメントから重心を求めるその他の例題
L形以外にも、頻出パターンがあります。
例題2：T形断面の重心
T形鋼の断面を考えます。
- フランジ：幅200mm × 厚さ20mm（A₁ ＝ 4,000 mm²）
- ウェブ：幅12mm × 高さ180mm（A₂ ＝ 2,160 mm²、フランジの下に取り付く）
座標系を ウェブの下端中央を原点 に取り、上方向を y とします。
| 番号 | Aᵢ [mm²] | yᵢ [mm] | Aᵢ × yᵢ |
|---|---|---|---|
| 1（フランジ） | 4,000 | 180 ＋ 10 ＝ 190 | 760,000 |
| 2（ウェブ） | 2,160 | 180/2 ＝ 90 | 194,400 |
合計面積 ΣA ＝ 4,000 ＋ 2,160 ＝ 6,160 mm²
面積モーメント Gy ＝ 760,000 ＋ 194,400 ＝ 954,400 mm³
y_G ＝ 954,400 / 6,160 ＝ 154.9 mm
T形断面の重心は、ウェブ下端から 154.9mm の高さ に位置します。フランジが上にあるので、重心が上寄りに出るのは妥当な結果です。
例題3：穴あき長方形断面
幅100mm × 高さ100mm の長方形に、直径50mmの穴が中央より下に偏って空いているケース。
このときは 「全体から穴の分を引く」足し引き法 が便利です。
x_G ＝ [A_全体 × x_全体 − A_穴 × x_穴] / [A_全体 − A_穴]
の式に当てはめて、引き算で重心を求めます。
台形の重心の話はこちらも参考に。
三角形の図形の話はこちらも参考に。
モーメントから求めた重心の応用
構造設計のどこで重心を使うのか整理しておきましょう。
応用①：断面二次モーメントの基準軸決定
断面二次モーメント I は 重心軸まわり で計算するのが基本。重心位置がわからないと、I の計算ができません。L形・T形・I形などの複合断面では、まず重心を出してから I の計算に進みます。
応用②：曲げ応力の最大値計算
曲げ応力 σ ＝ M / Z（Z は断面係数）の Z は、
Z ＝ I / y（y は重心から縁までの距離）
で求めます。重心位置と縁までの距離 が、応力計算で必須情報になります。
応用③：偏心率・剛性率の計算
建物全体の剛性中心（剛心）を求めるときも、各層の剛性 × 距離のモーメント を取って算出します。重心と剛心の差が偏心距離になり、ねじれ振動の評価に使われます。
偏心率の話はこちらも参考に。
剛性率の話はこちらも参考に。
応用④：合成断面の中立軸決定
RC梁・SRC梁の中立軸を求めるときも、鉄筋・コンクリートそれぞれの断面積に距離を掛けたモーメント を取って計算します。鉄筋とコンクリートのヤング率が違うので、ヤング率比 n を掛けた「換算断面積」での計算になります。
中立軸の話はこちらも参考に。
応用⑤：床荷重の集中点の検証
事務所や工場で重量機器（変圧器、サーバラック、機械設備）を置く際、全機器の重心位置 を求めて、床スラブのどの梁にどれだけ荷重が集中するかを評価します。これも重心計算の応用です。
モーメントから重心を求める計算の注意点
実務での落とし穴をまとめておきます。
注意点①：基準軸を最初に決める
「基準軸はどこに取ってもいいけど、計算中に変えない」ことが大事。途中で原点をずらすと符号がぐちゃぐちゃになります。計算開始時に図に明示しておく のが鉄則です。
注意点②：分割の重複・抜けに注意
L形・T形・複雑形状を分割するとき、重なって2重カウント したり、隙間を見落として いると面積が合いません。分割後の総面積を 元の図形と直接比較 して検算するのが必須です。
注意点③：足し引き法での符号ミス
穴あき断面を「全体 − 穴」で計算する場合、穴の面積モーメントを引く のを忘れると重心がずれます。表形式で計算する場合、穴の面積を マイナス符号付き で書いておくとミスが減ります。
注意点④：xᵢ・yᵢ は『各部分の重心』の座標
「各部分の重心の座標」を入れる必要があり、各部分の端の座標を入れない こと。これを取り違えると重心がずれます。長方形なら「中心の座標」、三角形なら「3頂点の平均座標」（または重心定理から底辺から1/3の高さ）です。
注意点⑤：単位の取り違え
mm と m を混ぜると、面積モーメントが10⁶倍も違ってきます。最初に単位を統一 しておくこと。建築の構造計算では mm 基準が多いですが、長スパン構造では m 基準もあります。
僕も若手の頃、現場の電気室基礎の上に変圧器を置く位置を構造設計者と相談していたとき、「複数機器の合計重心」を求める計算で 質量×距離のモーメント を集計して、想定した位置に重心が来るかチェックしたことがありました。重心を求める計算は、結局のところ「Σ(量 × 距離)/Σ量」のパターン で、面積・質量・体積どれでも同じロジックで通用するのが汎用性の高さです。
モーメントと重心の関係に関する情報まとめ
- モーメントと重心の関係とは：面積×距離のモーメントを全面積で割ったものが重心
- 公式：x_G ＝ Σ(Aᵢ × xᵢ) / ΣAᵢ
- 名前：面積モーメント（断面一次モーメント、記号G）
- 計算手順：座標設定→分割→各部の重心→面積モーメント→重心計算
- 例題：L形断面で(41.67, 41.67)、T形断面でウェブ下端から154.9mm
- 応用：断面二次モーメント／曲げ応力／偏心率／中立軸／床荷重重心
- 注意点：基準軸固定／分割の重複抜け／足し引き符号／各部の重心座標／単位統一
以上がモーメントと重心の関係に関する情報のまとめです。
「Σ(量 × 距離) ÷ Σ量」というシンプルな構造の式さえ覚えておけば、面積・質量・体積どんな問題でも応用が効きます。L形・T形などの複合断面では、分割して表にして淡々と計算するのがコツ。これができると、断面二次モーメント・断面係数の計算もスムーズに繋げられます。一通りモーメントと重心の関係に関する基礎知識は理解できたと思います。
合わせて、断面性能・モーメントに関連する知識もチェックしておきましょう。