- 台形の重心ってどう求めるの？
- 重心の公式はどんな形？
- 図心とどう違うの？
- 建築の構造計算で使う場面は？
- 三角形・長方形と何が違う？
- 計算で間違えやすいポイントは？
上記の様な悩みを解決します。
擁壁の安定計算、橋台の転倒モーメント、ダムの自重計算…台形断面が出てくる構造計算では、必ず「重心位置」が問題になります。重心が分かっていないと、自重や荷重がどこに作用するかが定まらず、構造の安定性を評価できないからです。今回は建築の技術知識として、台形の重心の意味と求め方を整理してみます。
なるべく分かりやすい表現で記事をまとめていくので、初心者の方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
台形の重心とは？
台形の重心とは、結論「台形に均等な質量が分布しているときに、釣り合いが取れる中心点」のことです。
読み方
「じゅうしん」と読みます。漢字は「重（おも）+ 心（こころ・中心）」で、文字通り「重さの中心」という意味です。英語では centroid（セントロイド） または center of gravity（COG）。
台形とは
台形（だいけい）とは、1組の向かい合う辺（上底と下底）が平行で、もう1組は平行でない四角形 のこと。
| 名称 | 意味 |
|---|---|
| 上底（a） | 短い方の平行辺 |
| 下底（b） | 長い方の平行辺 |
| 高さ（h） | 2つの平行辺の間の垂直距離 |
| 脚（あし） | 平行でない2辺 |
重心の意味するところ
重心は、その図形を 「指で支えたときにバランスする点」 だと考えると分かりやすいです。台形を厚紙で切り出して、重心の真下を細い棒で支えると、台形が水平に保たれます。
重心位置の特性
- 重心は 対称軸上 に位置する（左右対称の台形なら、対称軸上）
- 重心は 下底に近い側 に偏る（上底より下底が長いため）
- 三角形・長方形と違って、対角線の交点とは 一致しない
台形の重心の公式
台形の重心位置を求める公式は、上底・下底・高さの3つから計算できます。
台形の重心の位置の公式
下底から重心までの高さ y は、
y ＝ h × (2a ＋ b) / [3 × (a ＋ b)]
ここで、
- a：上底の長さ
- b：下底の長さ
- h：台形の高さ
この公式の意味
上底 a と下底 b の比で、重心位置が下底側へ移動します。
- a ＝ b（長方形）→ y ＝ h × (2b ＋ b) / [3 × 2b] ＝ h/2（長方形の中心、当然）
- a ＝ 0（三角形）→ y ＝ h × (2×0 ＋ b) / [3 × (0 ＋ b)] ＝ h/3（三角形の重心、確かに）
- a < b（一般の台形）→ y ＝ h/3 〜 h/2 の間
水平方向の重心位置（左右対称でない台形の場合）
左右対称でない台形（不等脚台形・直角台形）の場合は、水平方向の重心位置も計算が必要です。座標系を設定して、
x ＝ ∫x dA / ∫dA
の積分計算で求めます。実務的にはコンピュータ（CAD・構造計算ソフト）に任せることが多いです。
等脚台形の場合（左右対称）
上底と下底の中点を結んだ線が 対称軸 になります。重心はこの対称軸上にあるので、x の座標は対称軸の位置と一致します。
具体的な計算例
例1：上底 a ＝ 2 m、下底 b ＝ 4 m、高さ h ＝ 3 m の台形
y ＝ 3 × (2×2 ＋ 4) / [3 × (2 ＋ 4)] ＝ 3 × 8 / 18 ＝ 1.33 m
下底から 1.33 m の高さに重心があります。
例2：上底 a ＝ 1 m、下底 b ＝ 5 m、高さ h ＝ 3 m の台形
y ＝ 3 × (2×1 ＋ 5) / [3 × (1 ＋ 5)] ＝ 3 × 7 / 18 ＝ 1.17 m
上底が下底より極端に短いほど、重心は下底に近づくのが分かります。
台形の重心と図心の違い
「重心」とよく似た用語に 「図心（ずしん）」 があります。両者の違いを整理しておきましょう。
用語の違い
| 用語 | 定義 |
|---|---|
| 重心（center of gravity） | 重力の作用点。質量分布が偏っていれば偏る |
| 図心（centroid） | 図形の幾何学的な中心。質量分布を問わない |
実務でほぼ同じ意味で使われる
均一な材質・厚みの板を対象にすると、図心と重心は 完全に一致 します。建築構造計算で扱う「コンクリートの断面」「鋼材の断面」のような均一材質の場合は、重心 ＝ 図心と考えてOKです。
質量分布が偏る場合
実物が均一でない（例：鉄筋コンクリートで鉄筋の位置によって質量分布が偏る）場合は、重心と図心がズレることがあります。ただし、鉄筋コンクリートの鉄筋量はコンクリートに比べてはるかに少ないため、実用上は 図心 ≒ 重心 として扱うのが一般的です。
断面二次モーメントの計算でも図心を使う
構造計算で出てくる 断面二次モーメント I は、図心軸まわりで計算するのが基本です。台形断面の I を出すときも、まず図心位置を求めてから、そこを基準軸として積分計算します。
台形の重心が建築で出てくる場面
台形断面・台形形状は、建築の構造物で頻繁に登場します。重心位置の計算が必要になる典型例を整理しておきましょう。
擁壁（ようへき）の安定計算
土留め用の 重力式擁壁 は、底辺が広く上辺が狭い 台形断面 が典型です。
例：上端 0.5 m、下端 2 m、高さ 4 m のRC擁壁
y ＝ 4 × (2×0.5 ＋ 2) / [3 × (0.5 ＋ 2)] ＝ 4 × 3 / 7.5 ＝ 1.6 m（下端から）
擁壁の自重 W は、断面積（5 m²）× 厚み（壁長）× コンクリート単位体積重量（24 kN/m³）で計算し、この重心位置に作用すると考えて、転倒モーメント・滑動の安全性を評価します。
コンクリート擁壁の話はこちらも参考に。
橋台・橋脚の安定計算
橋台・橋脚も、地面付近で広がる 台形形状 の断面が多く、安定計算で重心位置の評価が必要です。
ダムの断面
重力式ダムも台形断面の典型。下流側と上流側でテーパー（傾斜）が違うため、左右非対称の台形になることが多いです。
鉄骨の断面（テーパー付き梁）
H形鋼の梁を 端部で薄く、中央で厚く したテーパー梁の場合、断面は台形になり、重心位置も場所によって変わります。曲げモーメントの分布計算で重心位置を考慮します。
屋根の妻側（切妻屋根の三角部）
切妻屋根の妻壁は 三角形 または 台形 になります。妻壁の自重・風荷重を扱うときに、重心位置が問題になります。
台形の重心の計算手順
実務で台形の重心位置を計算する手順を整理しておきます。
手順1：座標系を設定
下底の左端を原点（0, 0）として、水平方向に x 軸、垂直方向に y 軸を取る。
手順2：上底・下底・高さを測定
設計図から、
- 上底 a
- 下底 b
- 高さ h
- 上底の左端の x 座標 x₀（直角台形なら 0、左右対称の等脚台形なら (b − a)/2）
を読み取る。
手順3：y 座標（下底からの重心高さ）を計算
y ＝ h × (2a ＋ b) / [3 × (a ＋ b)]
手順4：x 座標（左右方向の重心位置）を計算
等脚台形（左右対称）の場合：x ＝ b / 2
不等脚台形の場合は、台形を 三角形2つと長方形1つ に分割して、各図形の重心と面積から加重平均で求めます。
分割計算の例
台形を「三角形 + 長方形 + 三角形」に分割：
– 各図形の重心位置（xᵢ, yᵢ）と面積 Aᵢ を計算
– 全体の重心 x ＝ Σ(xᵢ × Aᵢ) / ΣAᵢ
– 全体の重心 y ＝ Σ(yᵢ × Aᵢ) / ΣAᵢ
手順5：図上で重心位置をチェック
計算結果を図面に書き込んで、「対称軸上」「下底寄り」など、感覚と合っているかチェックします。極端な値が出ていないか確認するのが、計算ミス発見のコツです。
台形の重心の計算の注意点
最後に、台形の重心を扱う際の注意点を整理しておきます。
注意点①：上底と下底を取り違えない
公式 y ＝ h(2a＋b)/3(a＋b) の中で、a が上底、b が下底。これを逆にすると重心位置がずれます。「下底からの高さ y」を計算するときは、必ず 公式の a＝上底、b＝下底 を確認しましょう。
注意点②：左右対称でない台形の x 座標
直角台形や不等脚台形では、水平方向（x）の重心位置も計算が必要 です。「対称軸上にあるはず」と勝手に決めつけずに、座標計算を確認しましょう。
注意点③：単位の混在
上底を mm、下底を m で書いていると重心位置の数値が大幅にズレます。単位は必ず揃えてから計算しましょう。
注意点④：3次元化（厚みを考慮するとき）
実物の構造物（擁壁など）は3次元なので、平面（断面）の重心と、奥行き方向の重心を別々に考えます。一般に奥行き方向に均一なら、平面の重心が3次元の重心と一致します。
注意点⑤：分割計算でのミス
複雑な台形を「三角形＋長方形＋三角形」に分割するとき、各部分の面積と重心位置の符号 を間違えやすいです。台形の中身を全部足し合わせると、台形全体の面積と一致するはずなので、計算後に 検算 をするとミスを発見しやすいです。
僕も以前、現場で築土留めの設計レビューに参加した際に、台形断面の擁壁の重心位置を「下底から h/2 のところにあるんでしょ」と勘違いした若手が、転倒モーメントの計算をやり直す羽目になっていました。台形は 長方形と違って重心が下底寄り にズレるので、必ず公式で正しい位置を出すことが大事です。
台形の重心に関する情報まとめ
- 台形の重心とは：台形が均等に質量分布しているときに釣り合う中心点
- 読み方：じゅうしん（centroid または center of gravity）
- 公式：y ＝ h × (2a ＋ b) / [3 × (a ＋ b)]（下底からの高さ）
- 図心との違い：均質な材質なら同じ／一般には別概念
- 特徴：重心は下底寄りにズレる（上底＜下底のため）
- 建築での例：擁壁、橋台・橋脚、ダム、テーパー梁、妻壁の自重
- 注意点：上底と下底の取り違え／左右対称か否か／単位を揃える／分割計算の符号
以上が台形の重心に関する情報のまとめです。
台形の重心は 「下底寄りにズレる」 という特徴さえ覚えておけば、構造計算で大きな計算ミスを防げます。公式 y ＝ h(2a＋b)/3(a＋b) は、上底＝下底のときに長方形の中心（h/2）に戻り、上底＝0のときに三角形の重心（h/3）に戻るキレイな式です。一度導出を確認しておくと、現場でも自信を持って計算できます。一通り台形の重心に関する基礎知識は理解できたと思います。
合わせて、図形・断面・構造計算に関連する知識もチェックしておきましょう。
