- マトリクス法ってなに？数学の行列の話？
- 構造力学でなんで急に行列が出てくるの？
- 剛性マトリクスってどうやって作るのか分からない
- K・d＝Fって、結局なにを解いてるの？
- たわみ角法や固定法と何が違うの？
- 局所座標系と全体座標系の変換が意味不明
- 有限要素法（FEM）と同じもの？違うもの？
- 構造計算ソフトの中ではこれが動いてるってこと？
- 一級建築士の試験で出るの？現場監督の自分も知る必要ある？
上記の様な悩みを解決します。
マトリクス法は、構造力学の中でも「行列がびっしり並んでいて、見た瞬間に閉じたくなる」単元の代表格です。大学の講義ノートや教科書を開いても、いきなり剛性マトリクスの導出が始まって、何のためにこれをやっているのか分からないまま力尽きる人が多い分野でもあります。
今回は数式の導出を追いかける前に、まず「マトリクス法とは何をしている手法なのか」という全体像を掴むところから入ります。その上で剛性マトリクスの意味・計算手順・トラスやラーメンでの違い・有限要素法との関係を整理し、最後に「施工管理者や一級建築士の受験生は、どこまで理解すれば十分なのか」という線引きまで現場目線で踏み込みます。
なるべく分かりやすい表現で記事をまとめていくので、初心者の方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
マトリクス法とは？
マトリクス法とは、結論「構造物を行列（マトリクス）の形に置き換えて、コンピュータで一気に解くための解析方法」のことです。正式にはマトリクス変位法、または剛性マトリクス法と呼ばれます。
「マトリクス」というのは数学でいう行列のことなので、出発点としては「行列の話」で合っています。ただし純粋な数学の話ではなく、構造力学の「力と変形の関係」を行列の形に翻訳したものだと捉えると一気に近づきます。
もう少し噛み砕くと、マトリクス法がやっているのは次の一点に集約されます。
「この構造物に、この荷重をかけたら、各点はどれだけ動いて、各部材にどれだけ力が流れるか」を、連立方程式の塊として一気に解く
手計算の構造力学では、反力を求めて、せん断力図・曲げモーメント図を描いて……と段階を踏みます。これに対してマトリクス法は、構造物全体を「力＝剛性×変位」という一本の行列方程式に押し込んで、コンピュータに丸ごと解かせるアプローチです。
構造力学そのものの全体像が曖昧な方は、先にこちらを読むと本記事の位置づけが掴みやすいです。
僕の整理では、マトリクス法は「新しい物理法則」ではありません。フックの法則やつり合い式という、これまで習ってきた道具をそのまま使っています。違うのは「解く順番と、解かせる相手（人間ではなくコンピュータ）」だけ。ここを最初に腹落ちさせておくと、行列の海で溺れにくくなります。
なぜマトリクス法が必要になったのか
マトリクス法が広まった理由は、結論「コンピュータの登場で、複雑な不静定構造が現実的に解けるようになったから」です。ここを押さえると、なぜわざわざ行列にするのかが腑に落ちます。
手計算の構造力学には、不静定構造を解くための専用の解法がいくつもあります。代表的なのが、たわみ角法・固定法（モーメント分配法）・三連モーメント法などです。これらは「人間が紙と鉛筆で解く」ことを前提に工夫された方法で、節点や部材が少ないうちは十分機能します。
ところが部材が数十・数百本になると、手計算の解法は破綻します。連立方程式の数が膨大になり、人間が手で解くのは非現実的だからです。実際の建物は柱・梁・ブレースが何十本も組み合わさった高次の不静定構造なので、手計算ではとても追いつきません。
そこで「人間にとって面倒な計算ほど、機械にとっては得意」という発想が出てきます。マトリクス法は計算手順がきわめて機械的で、行列の掛け算と連立方程式を淡々と処理するだけ。これがコンピュータと抜群に相性が良かったわけです。
手計算側の代表的な解法を先に知っておくと、マトリクス法のありがたみが際立ちます。
個人的には、マトリクス法は「たわみ角法や固定法の上位互換」というより、「同じ問題を、人間用ではなく機械用の言語に翻訳し直したもの」と捉えるのがしっくりきます。解いている物理は同じで、表現形式と処理の担い手が変わった、という整理です。
剛性マトリクスとは？「剛性＝力÷変位」のイメージ
マトリクス法の心臓部が剛性マトリクスです。剛性マトリクスとは、結論「各点を単位量だけ動かすのに必要な力を、表（行列）の形にまとめたもの」です。
「剛性」という言葉が分かりにくければ、バネをイメージしてください。バネの式は「力＝バネ定数×伸び（F＝kx）」でしたよね。このkがバネの硬さ＝剛性です。kが大きいほど、同じだけ伸ばすのに大きな力が要る。つまり剛性とは「変形しにくさ」を表す数字です。
マトリクス法は、この「F＝kx」を構造物全体に拡張しただけだと考えると見通しが良くなります。点が1個・方向が1個ならkはただの数字ですが、点が複数あって方向も複数あると、kは1個の数字では足りません。「点Aを動かすと点Bにもこれだけ力が及ぶ」という相互の影響まで含めて表にする必要があり、その表が剛性マトリクスです。
なぜ「柔らかさ（柔性）」ではなく「剛性」で組むのか、と引っかかる人もいます。柔性を使う応力法（柔性法）も理論上は存在しますが、剛性で組むほうが「未知数を各点の変位にそろえられて、コンピュータ処理が機械的になる」ため、実装では剛性マトリクス法が主流になりました。
剛性マトリクスそのものの求め方を、要素レベルからもう一段詳しく追いたい方はこちらが対応しています。
剛性の発想は、建物のねじれや偏心を考える「水平剛性」にもそのまま通じます。
僕の感覚だと、剛性マトリクスは「硬さの地図」だと思っておくと迷子になりません。どこを押したら、どこが、どれだけ動くか。その対応関係を一枚の表にまとめたものが剛性マトリクス、という理解で十分に先へ進めます。
マトリクス法の基本式 K・d＝F が表していること
マトリクス法のすべては、たった一本の式に集約されます。それが「K・d＝F」です。記号の意味は次の通りです。
- K：全体剛性マトリクス（構造物全体の硬さの地図）
- d：変位ベクトル（各点が、どの方向にどれだけ動くか）
- F：荷重ベクトル（各点に、どの方向にどれだけ力が加わるか）
つまり「硬さ（K）×動き（d）＝かけた力（F）」という、バネの式とまったく同じ構造をしています。ここが腹落ちすると、行列アレルギーがかなり軽くなります。
実務でやりたいのは、たいてい「荷重Fが分かっているとき、各点の変位dを知りたい」というケースです。式を変形すると d＝K⁻¹・F となり、Kの逆行列を荷重Fに掛ければ変位dが求まる、という流れになります。コンピュータはこの逆行列計算と連立方程式の処理が大の得意です。
そして変位dさえ求まれば、あとは芋づる式に欲しい量が出てきます。変位が分かれば各部材のひずみが分かり、ひずみが分かればフックの法則から応力が分かり、応力が分かれば部材に流れる断面力（軸力・せん断力・曲げモーメント）が分かる、という連鎖です。
断面力の中身を整理しておきたい方はこちらが参考になります。
正直なところ、マトリクス法でいちばん大事なのは個々の行列計算を手でこなせることではなく、この「K・d＝F → 変位 → ひずみ → 応力 → 断面力」という情報の流れを頭に入れておくことだと考えています。全体像さえ持っていれば、途中の数式は「いまどのステップにいるか」を見失わずに追えます。
マトリクス法の計算手順（6ステップ）
マトリクス法の計算は、手順が決まっています。例題で迷子になる人の多くは、いま自分がどのステップにいるか分からなくなっているだけなので、流れを先に押さえておきましょう。代表的には次の6ステップで進みます。
- ステップ①：各部材（要素）ごとに要素剛性マトリクスを作る
- ステップ②：部材の傾きに合わせて座標変換する（局所系→全体系）
- ステップ③：全部材を重ね合わせて全体剛性マトリクスKを組む
- ステップ④：支点条件（境界条件）を反映して式を整理する
- ステップ⑤：K・d＝Fを解いて変位dを求める
- ステップ⑥：変位から各部材の応力・断面力を逆算する
ステップ①は、部材1本だけを取り出して「この棒を引っ張ったら／曲げたらどう変形するか」を行列にする作業です。トラスの棒なら伸び縮みだけ、梁なら曲げやせん断も含むので、部材の種類で要素剛性マトリクスの中身が変わります。
ステップ②の座標変換が、最初の山場です。部材1本ずつは「その部材に沿った向き（局所座標系）」で式を立てますが、構造物全体はXY軸（全体座標系）で揃えないと足し合わせられません。斜めの部材を、全体のXY方向に翻訳し直す作業が座標変換です。三角関数（sinθ・cosθ）が出てくるのはこのためで、難しい概念というより「向きを合わせる作業」と捉えると気が楽になります。
ステップ③の「重ね合わせ」は、同じ点を共有する部材どうしの剛性を、その点の欄でドッキングさせる作業です。点Aに部材1と部材2がつながっているなら、点Aの硬さは両方の寄与を足したものになる、というイメージ。これでバラバラだった部材が1つの構造物として連結されます。
ステップ④の境界条件は、「動かない点（固定・ピン・ローラー）は変位ゼロ」という情報を式に入れる工程です。ここで全体剛性マトリクスから「動かない自由度」に対応する行と列を処理します。支点の種類で何が拘束されるかは、反力の考え方とセットで理解すると早いです。
実務だと、ステップ①〜④で式を組むところまでが本番で、ステップ⑤の「解く」部分はコンピュータが一瞬で片付けます。だからこそ、手で例題を解くときも「式を正しく組めたか」に意識を集中すると、最後まで力尽きずに到達しやすいです。
トラス・ラーメン・梁で何が変わるのか（自由度の話）
マトリクス法は、対象がトラスかラーメンか梁かで「1点あたりの自由度の数」が変わります。ここがごちゃつくと例題でつまずくので、整理しておきます。自由度とは「その点が、何通りの動き方を持っているか」の数です。
- 平面トラス：1点あたり2自由度（X方向・Y方向の移動のみ）
- 平面ラーメン：1点あたり3自由度（X・Y移動＋回転）
- 連続梁：1点あたり2自由度（たわみ＋回転）が基本
トラスは部材が軸力（引っ張り・圧縮）しか負担しない前提なので、点は前後左右に動くだけ。回転は考えません。だから自由度が2つで済み、剛性マトリクスも比較的シンプルです。マトリクス法の入門で最初にトラスを扱うのは、ここがいちばん見通しが良いからです。
一方ラーメンは、節点が剛接合されていて回転も伝わります。柱と梁の接合部が回らずに角度を保つので、移動2方向に加えて「回転」という自由度が増えて3自由度。そのぶん剛性マトリクスも一回り大きくなります。
ラーメン構造そのものの特徴を確認しておくと、自由度の話が立体的になります。
ちなみに手計算でトラスの軸力を求める「節点法」を知っていると、マトリクス法がそれを行列で一括処理しているイメージが掴めます。
僕の考えでは、トラス→梁→ラーメンの順で自由度が増えていくと捉えると、難易度の階段がそのまま見えてきます。最初からラーメンで理解しようとして挫折する人が多いので、まずは2自由度のトラスで「要素剛性→座標変換→重ね合わせ」の流れを通して体験するのが遠回りに見えて近道です。
有限要素法（FEM）との関係
「マトリクス法と有限要素法（FEM）は同じなの？違うの？」という疑問は非常に多いので整理します。結論、両者は親戚関係にあり、考え方の幹は共通しています。
有限要素法も、対象を細かい「要素」に分割し、各要素の剛性マトリクスを作り、それを重ね合わせて全体剛性マトリクスを組み、K・d＝Fを解く、という流れをとります。この骨格はマトリクス法とまったく同じです。剛性マトリクスを軸に変位→ひずみ→応力をたどる発想も共通しています。
違いは「何を要素にするか」です。マトリクス（変位）法は、柱や梁といった「線材（棒部材）」を1要素として扱うのが基本。これに対し有限要素法は、板・面・立体といった連続体を、三角形や四角形などの細かいメッシュに割って解きます。橋桁の応力分布や、複雑な形をした部材の解析には有限要素法が使われます。
ざっくり言えば、骨組み（ラーメンやトラス）を解くのがマトリクス変位法、連続体を含めて何でも解けるよう一般化したのが有限要素法、という棲み分けです。歴史的にも、骨組み解析のマトリクス法が先にあり、それを連続体へ拡張する形で有限要素法が発展しました。
実務だと、ビルの構造計算ソフトは骨組みモデル（マトリクス変位法系）が中心で、特殊な形状の検討で有限要素法を使う、という使い分けになります。両者を別物として暗記するより、「同じ剛性マトリクスの考え方を、線材に使うか連続体に使うか」と捉えるほうが頭の引き出しが整理されます。
施工管理者・受験生はどこまで理解すればいい？
ここがこの記事でいちばん書きたかった部分です。マトリクス法を「全部、手で解けるようにならないといけない」と思い込んで消耗している人が多いので、現実的な線引きを示します。
まず大前提として、実務でマトリクス法を手計算することはまずありません。構造設計の現場では、SS3・BUS・SEINといった構造計算ソフトが内部でこの計算をやっています。ソフトに架構と荷重を入力すれば、全体剛性マトリクスの組み立てから連立方程式の求解まで、すべて自動です。つまり「マトリクス法＝構造計算ソフトのエンジン部分」と理解しておけば、現場での位置づけとしては十分です。
構造設計という仕事全体の中での立ち位置を掴んでおくと、なぜソフトが必須なのかが見えます。
その上で、立場別に必要な理解度を整理すると次のようになります。
- 現場監督・施工管理（建築）：ソフトの出力（変位・応力・検定比）を読めれば十分。マトリクス法は「中で何が動いているか」のイメージを持つレベルでOK
- 構造設計に進みたい人：手計算で2要素トラスの例題を一度は完答し、要素剛性→座標変換→重ね合わせの流れを体で覚えておく
- 一級建築士の受験生：丸ごとの求解は出題されにくいが、剛性の概念・たわみ角法や固定法との関係は構造力学の理解の土台になる
一級建築士の試験では、マトリクス法そのものをゼロから解かせる問題はめったに出ません。出るのは、たわみ角法・固定法・不静定次数といった「手計算の解法」のほうです。だからマトリクス法に何時間もかけて消耗するより、まずは手計算の解法を固めるほうが試験対策としては費用対効果が高い、というのが現場目線での割り切りです。
構造力学の公式まわりを一気に確認したい受験生はこちらもどうぞ。
ちなみに「Excelで剛性マトリクス法を解く」という入門書や教材もあります。2要素・3要素くらいの小さなモデルなら、Excelの行列関数（MINVERSE・MMULT）で逆行列と掛け算ができるので、自分の手で一度通してみると理解が一段深まります。理屈を追うのが苦手な人ほど、小さなモデルを実際に解いてみる遠回りが効きます。
マトリクス法に関する情報まとめ
- マトリクス法とは：構造物を行列に置き換えてコンピュータで一気に解く解析方法（剛性マトリクス法・マトリクス変位法）
- 必要になった背景：高次の不静定構造を、手計算の解法（たわみ角法・固定法）に代わって機械的に解くため
- 剛性マトリクス：各点を単位量動かすのに要る力をまとめた「硬さの地図」。F＝kxのkを構造全体に拡張したもの
- 基本式：K・d＝F（硬さ×動き＝力）。d＝K⁻¹・Fで変位を求め、ひずみ→応力→断面力へつなぐ
- 計算手順：要素剛性→座標変換→重ね合わせ→境界条件→求解→応力逆算の6ステップ
- トラス・ラーメン・梁：1点あたりの自由度が2・3・2と変わり、剛性マトリクスの大きさも変わる
- 有限要素法との関係：骨格は共通。線材を扱うのがマトリクス変位法、連続体まで一般化したのが有限要素法
- 理解度の目安：施工管理は「ソフトの中身」のイメージで十分、構造設計志望は2要素トラスを完答、受験生は手計算の解法を優先
以上がマトリクス法に関する情報のまとめです。
マトリクス法は、行列の導出を1つずつ追いかける単元だと思うと果てしなく感じますが、正体は「コンピュータに構造を解かせるための翻訳ルール」です。K・d＝Fという一本の式に全体像を集約し、要素剛性→座標変換→重ね合わせという流れさえ掴めば、あとはソフトが処理してくれる領域だと割り切れます。施工管理者なら「構造計算ソフトのエンジンはこれだ」と分かっていれば出力の読み方に効きますし、構造に進む人ならここが土台になります。数式の海に飛び込む前に、まず全体像という地図を手に持っておきましょう。
マトリクス法に関するよくある質問
Q1：マトリクス法と剛性マトリクス法は違うものですか？
ほぼ同じものを指します。マトリクス法（マトリクス変位法）の中で、各点の変位を未知数にとり、剛性を使って式を組む方式を剛性マトリクス法と呼びます。実務・教育で主流なのがこの剛性ベースの方式なので、「マトリクス法＝剛性マトリクス法」と理解して差し支えありません。柔性（やわらかさ）を使う応力法もありますが、コンピュータ処理に向かないため現在はあまり使われません。
Q2：たわみ角法・固定法とは何が違うのですか？
解いている対象（不静定構造の変形と応力）は同じですが、たわみ角法や固定法は「人間が手で解く」ために工夫された解法、マトリクス法は「コンピュータで機械的に解く」ための解法です。部材が少なければ手計算の解法で十分ですが、部材が数十本以上になると手計算は破綻するため、マトリクス法が使われます。位置づけとしては、同じ問題を人間用と機械用で表現し直した関係です。
Q3：座標変換でsinθやcosθが出てくるのはなぜですか？
部材1本ごとの式は「その部材に沿った向き（局所座標系）」で立てますが、構造物全体は共通のXY軸（全体座標系）に揃えないと足し合わせられません。斜めの部材を全体のXY方向に翻訳し直す作業が座標変換で、向きの分解にsinθ・cosθを使います。難しい理論ではなく「向きを合わせる作業」と捉えると気が楽になります。
Q4：マトリクス法は一級建築士の試験に出ますか？
マトリクス法そのものをゼロから解かせる問題は、ほとんど出題されません。構造力学で出るのは、たわみ角法・固定法・不静定次数・反力やたわみの公式といった手計算の解法が中心です。そのため受験対策としては、マトリクス法に深入りするより手計算の解法を固めるほうが効率的です。剛性の概念は理解の土台になるので、考え方だけ押さえておけば十分です。
Q5：構造計算ソフトはマトリクス法で動いているのですか？
はい、骨組みを扱う一般的な構造計算ソフト（SS3・BUS・SEINなど）は、内部でマトリクス変位法をベースに計算しています。架構と荷重を入力すると、ソフトが全体剛性マトリクスを自動で組み、連立方程式を解いて変位・応力・検定比を出力します。施工管理者は「ソフトの中で動いているエンジン＝マトリクス法」とイメージできていれば、出力の意味を読み取るうえで十分です。
Q6：Excelでマトリクス法を解くことはできますか？
2要素・3要素程度の小さなモデルなら可能です。ExcelにはMINVERSE（逆行列）やMMULT（行列の掛け算）という関数があり、K・d＝Fをd＝K⁻¹・Fの形で解けます。理屈を読むだけでは腹落ちしない人は、小さなトラスを自分でExcelに組んで解いてみると、要素剛性→重ね合わせ→求解の流れが一気に体感できます。入門書でもExcelを使った解説が定番になっています。
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