- 重心の求め方、公式は見たけど結局どう計算する？
- 重心と図心って同じ？違うなら何が違う？
- L型やT型みたいな複雑な形の重心はどう出す？
- 穴が空いてる図形の重心はどうするの？
- 断面一次モーメントと重心の関係が分からない
- 図心・重心・剛心、ぜんぶ似てて混乱する
- 「偏心」って何？重心と関係あるの？
- 試験で確実に解ける手順がほしい
- 計算が苦手で符号や原点でいつもミスる
- 建築の現場で重心ってどこで使うの？
上記の様な悩みを解決します。
重心の求め方は、構造力学が苦手な人がつまずきやすい単元です。公式は単純なのに、図心・重心・剛心という似た用語が混ざり、複合形状や穴あき図形が出ると一気に難しく感じます。今回は重心の意味・図心との違い・公式と手順といった基本を押さえた上で、複合形状や穴あき図形の計算例、そして資格や実務で本当に効いてくる「偏心の話」まで、つながりが見えるように整理しました。
なるべく分かりやすい表現でまとめていくので、計算が苦手な方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
重心の求め方とは？
重心の求め方とは、結論「図形を細かく分けて、各部分の面積（または重さ）と位置を掛けたものを足し合わせ、全体の面積で割る」ことです。式にすると、各部分の面積をA、位置をyとして、ΣAy ÷ ΣA で求まります。
なぜこの計算で重心が出るのかというと、重心は「そこを支えれば図形が釣り合う点」だからです。シーソーを思い出してください。重い側と軽い側で釣り合わせるには、支点からの距離で調整しますね。これは「面積×距離（モーメント）」が左右で等しくなる点を探しているのと同じです。重心とは、図形全体のモーメントが釣り合う一点のことなのです。
だから重心を求める作業は、「全部のモーメントを足して、全面積で割り戻す」ことになります。ΣAy が全体のモーメント、ΣA が全面積で、割ると「面積1あたりの位置の代表値」つまり重心位置が出る、という流れです。
構造力学の基礎を一度整理したい方はこちらもどうぞ。
僕の整理では、重心の求め方は「公式を覚える」より「モーメントの釣り合い点を探している」と理解するのが近道です。意味さえ掴めば、複合形状でも穴あきでも同じ理屈で押し切れます。
重心と図心の違い
重心と図心は、結論「ほぼ同じ点だが、定義の出発点が違う」というのが正確な理解です。試験でも実務でも混同しやすいので、ここで整理しておきましょう。
重心は「重さ（質量）の中心」で、その点を支えれば物体が釣り合う点です。一方の図心は「面積（図形）の中心」で、その点を通る軸まわりの断面一次モーメントがゼロになる点です。密度が一様な板であれば、重さは面積に比例するので、重心と図心は同じ位置に来ます。
| 用語 | 何の中心か | 一致する条件 |
|---|---|---|
| 重心 | 重さ（質量）の中心 | ― |
| 図心 | 面積（断面形状）の中心 | 密度が一様なら重心と一致 |
| 剛心 | 硬さ（剛性）の中心 | 別物。耐力壁等の配置で決まる |
ここで一緒に押さえたいのが剛心です。剛心は「建物の硬さの中心」で、耐力壁や柱の配置で決まります。重心・図心が「重さ・面積」の話なのに対し、剛心は「硬さ」の話で、出どころがまったく別です。この3つを混ぜないことが、後半の偏心の理解につながります。
図心そのものの定義はこちらで深掘りしています。
個人的には、「重心＝重さ、図心＝面積、剛心＝硬さ」と一言で区別できるようにしておくと、構造の問題で用語に振り回されなくなると思います。同じ点に見えても、何の中心を指しているかで意味がまるで違います。
重心の求め方の手順と公式
重心の求め方は、結論「①基準線を決める→②図形を分割→③各面積と図心距離を掛ける→④合計を全面積で割る」の4手順で確実に解けます。x方向とy方向は別々に同じ手順を繰り返すだけです。
公式を改めて書くと次の通りです。
- y方向の重心：y₀ = Σ(Aᵢ × yᵢ) ÷ ΣAᵢ
- x方向の重心：x₀ = Σ(Aᵢ × xᵢ) ÷ ΣAᵢ
ここでAᵢは分割した各図形の面積、yᵢ・xᵢはその図形自身の図心位置（基準線からの距離）です。基準線は、計算が楽になるように図形の下端や左端に取るのが定石です。原点を図形の外の分かりやすい位置に固定すると、符号ミスが激減します。
手順を整理すると次のようになります。
- 基準線（原点）を図形の下端・左端など分かりやすい位置に決める
- 全体を長方形・三角形など計算しやすい基本図形に分割する
- 各図形の面積Aと、基準線から各図形の図心までの距離を出す
- A×距離をすべて足し、全面積で割る（x・yそれぞれ）
このとき役立つのが、基本図形の図心位置です。長方形は中央、三角形は底辺から高さの1/3、半円は直径から4r/3πの位置にあります。これらは覚えておくと計算が速くなります。
構造力学の主要公式はこちらにまとめがあります。
実務だと、重心計算で差がつくのは「基準線をどこに取るか」だと感じます。原点を図形の外側の角に固定して全部プラスの距離で計算すると、符号の混乱がなくなり、検算もしやすくなります。
複合形状（複合図形）の重心の計算例
複合形状の重心は、結論「基本図形に分割して、それぞれのA×距離を足し合わせる」だけで求まります。実際にT型断面で計算してみましょう。
下に横長の長方形（フランジ）、その上に縦長の長方形（ウェブ）を乗せたT型の断面で考えてみましょう。基準線は下端に取り、y方向の重心を求めます。
- 図形①（フランジ：幅6cm×高さ2cm）：面積A₁=12cm²、図心は下端から y₁=1cm
- 図形②（ウェブ：幅2cm×高さ6cm、①の上に乗る）：面積A₂=12cm²、図心は下端から y₂=2+3=5cm
あとは公式に入れるだけです。断面一次モーメントの合計は（12×1）＋（12×5）＝72、全断面積は12＋12＝24なので、y₀＝72÷24＝3.0cm が下端から測った重心位置になります。分割して各A×yを足し、全面積で割る、という流れさえ掴めば、どんな複合形状でも同じ手順で解けます。x方向は、この断面のように左右対称なら中心と即断できるので、計算を省略できます。
穴あき図形（中空断面）はマイナスで扱う
中空の図形や穴あきの図形では、穴の部分を「マイナスの面積」として引き算します。外形の長方形の面積モーメントから、穴の長方形の面積モーメントを引き、外形面積から穴面積を引いて割る、という流れです。穴を別図形として足すのではなく、符号をマイナスにして同じ公式に放り込むのがポイントです。
台形など特定形状の重心は、公式を使うと早いです。
僕の考えでは、複合形状は「足すか引くか」さえ間違えなければ、あとは作業です。出っ張りは足す、穴は引く、対称なら省く。この3つを意識すれば、複雑そうな図形でも淡々と解けます。
断面一次モーメントと重心の関係
断面一次モーメントは、結論「重心を求めるための部品」です。重心の公式の分子 Σ(A×距離) が、まさに断面一次モーメントそのものです。
断面一次モーメントとは、ある軸からの距離と面積を掛けた量（A×距離）のことです。これを全部足したものを全面積で割ると重心位置になる、というのが両者の関係です。つまり「断面一次モーメント ÷ 全面積 ＝ 重心（図心）位置」という一本の式で結ばれています。
逆に言えば、重心を通る軸まわりの断面一次モーメントはゼロになります。重心は左右のモーメントが釣り合う点なので、そこを基準にすると正負が打ち消し合ってゼロになる、という訳です。これが「図心は断面一次モーメントがゼロになる点」という定義の意味です。
断面一次モーメントの計算はこちらで詳しく扱っています。
モーメントと重心の関係を別角度から見たい方はこちらも参考になります。
現場目線で言えば、断面一次モーメントは「重心を出すための途中計算」と割り切ると気が楽です。新しい概念というより、重心の公式の分子に名前が付いただけ、と捉えると構造力学の用語の圧が下がります。
重心・図心・剛心と偏心の話
ここが、重心を学ぶ本当の意味につながる部分です。結論、建物では「重心（重さの中心）」と「剛心（硬さの中心）」がズレると、地震時にねじれて危険になります。このズレが「偏心」です。
これまで見てきた重心・図心は、断面や図形の話でした。これを建物の平面に広げると、各階には重さの中心である重心と、耐力壁や柱の配置で決まる硬さの中心である剛心が存在します。この2つが大きくズレていると、地震で建物が揺れたときに、重心まわりに建物がねじれるように回転してしまいます。
このねじれやすさを表す指標が偏心率です。偏心率は「重心と剛心のズレ（偏心距離）」を建物のねじれにくさ（弾力半径）で割った値で、建築基準法では原則 偏心率 ≦ 0.15 に収めることが求められます。値が大きいほどねじれやすく、地震時に一部の壁や柱へ負担が集中して危険になるためです。
- 重心：建物の重さの中心
- 剛心：耐力壁・柱の配置で決まる硬さの中心
- 偏心：重心と剛心のズレ
- 偏心率：ズレの大きさを評価する指標（原則0.15以下）
偏心率は構造計算ルートの判定にも関わります。
自分としては、重心の求め方を学ぶゴールはここだと思っています。断面の重心計算が、最終的には「建物のバランスを取り、地震でねじれない設計をする」話に直結している。この流れが見えると、ただの計算問題が現場とつながった知識に変わります。
重心の求め方でつまずかないコツ
重心の求め方でミスを減らすコツは、結論「基準線を外側に固定する・対称を使う・足し引きを最初に決める」の3つです。試験でも実務でも、ここを押さえると計算が安定します。
- 基準線（原点）は図形の下端・左端など外側に固定し、距離を全部プラスで扱う
- 左右・上下対称な図形は、その方向の重心が中心と即断して計算を省く
- 分割したら「足す図形か、引く図形（穴）か」を先に決めてから数値を入れる
特に符号ミスは、原点を図形の真ん中など中途半端な位置に取ったときに起きがちです。原点を端に固定してしまえば、距離は全部プラスになり、混乱しません。対称性の利用も強力で、左右対称ならx方向の計算はまるごと不要になります。
試験対策として構造力学の問題演習を増やしたい方はこちらが参考になります。
僕の感覚だと、重心の問題は「解法を知らない」より「処理でミスる」ことのほうが多いです。基準線・対称・足し引きの3点を毎回ルーティン化すれば、計算のケアレスミスはかなり防げます。
重心の求め方に関するよくある質問
重心と図心はどちらを使えばいいですか？
密度が一様な断面や板なら、重心と図心は同じ位置なのでどちらで考えても結果は同じです。構造力学の断面計算では「図心」、物体の釣り合いの話では「重心」と呼ぶことが多い、という言葉の使い分けだと捉えれば十分です。
三角形や半円の重心位置は暗記が必要ですか？
よく出る基本図形（長方形は中央、三角形は底辺から高さの1/3、半円は直径から4r/3π）は覚えておくと計算が速くなります。複合形状はこれらの基本図形に分割して解くので、基本図形の重心位置を知っているほど有利です。
穴あき図形の重心はどう計算しますか？
穴の部分をマイナスの面積として、同じ公式に入れて計算します。外形の面積モーメントから穴の面積モーメントを引き、外形面積から穴面積を引いた値で割ります。穴を「引く図形」として扱うのがコツです。
偏心率と重心はどう関係しますか？
偏心率は、建物の重心と剛心（硬さの中心）のズレを評価する指標です。重心の考え方を建物の平面に広げ、硬さの中心である剛心との距離を見るのが偏心です。重心が分かっていないと偏心も評価できないため、両者は地続きの知識です。
重心の求め方に関する情報まとめ
- 重心の求め方：図形を分割し ΣAy ÷ ΣA で求める（モーメントの釣り合い点）
- 重心と図心の違い：重心＝重さの中心、図心＝面積の中心。密度一様なら一致
- 剛心：硬さの中心。重心・図心とは別物
- 手順：基準線を外側に固定→分割→A×距離→合計を全面積で割る
- 複合形状：出っ張りは足す、穴はマイナスで引く、対称は省く
- 断面一次モーメント：重心公式の分子（A×距離の合計）そのもの
- 偏心：建物の重心と剛心のズレ。偏心率は原則0.15以下でねじれを防ぐ
- ミス防止：基準線を外側に固定・対称を使う・足し引きを先に決める
以上が重心の求め方に関する情報のまとめです。
重心の求め方は、ΣAy ÷ ΣA という一本の式と、「モーメントの釣り合い点」という意味を押さえれば、複合形状でも穴あきでも同じ理屈で解けます。そしてその先には、建物の重心と剛心のズレ＝偏心という、耐震設計に直結するテーマが待っています。計算を「点を求める作業」で終わらせず、偏心まで一本の線でつなげて理解しておくと、資格でも実務でも強い武器になります。