- 断面一次モーメントってどういう意味？
- 公式と単位は？
- どうやって計算するの？
- 重心の求め方とどう関係するの？
- 断面二次モーメントとは別物？
- 実務でどんな時に使うの？
上記の様な悩みを解決します。
「断面一次モーメント」は構造力学の基礎中の基礎で、重心を求めるためのベースになる量です。「次数」がついた瞬間に難しく感じる人が多いんですが、ある軸からの距離 × 面積を全部足した値というシンプルな考え方。本記事では公式・単位・計算手順から、重心との関係、断面二次モーメントとの違い、実務での使い道までを若手向けに整理します。
なるべく分かりやすい表現で記事をまとめていくので、初心者の方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
断面一次モーメントとは？
断面一次モーメントとは、結論「ある軸から各微小面積までの距離 × 微小面積を、断面全体で積分したもの」のことです。
英語では First Moment of Area（または Q）。記号は S が一般的で、X軸まわりの場合は S_x、Y軸まわりの場合は S_y と書きます。
断面一次モーメントのざっくりイメージ
- 「ある軸から見た断面の偏り具合」を表す量
- 軸からの距離が大きい部分ほど影響が大きい
- 重心を通る軸まわりでは 0 になる
- 単位は mm³（面積×長さ）
「一次」というのは距離が1乗で効くという意味で、対比される「二次」は距離が2乗で効きます（後述）。
構造力学全体の中での位置付けはこちらでも整理しています。
公式と単位
教科書で頻出する基本式です。
基本公式（X軸まわり）
連続体としては積分で表記します。
S_x = ∫ y dA
- S_x：X軸まわりの断面一次モーメント [mm³]
- y：X軸から微小面積までの距離 [mm]
- dA：微小面積 [mm²]
- 積分範囲：断面全体
有限要素（複数の長方形を足し合わせる場合）
S_x = Σ A_i × y_i
- A_i：i番目の小領域の面積 [mm²]
- y_i：i番目の小領域の重心の y 座標 [mm]
「面積 × 距離」を、小領域ごとに計算して全部足し算する、というだけ。1次関数の足し合わせなので「一次」モーメントです。
単位
長さ × 面積 → 長さの3乗。
- 一般単位：mm³
- 大規模断面：cm³、稀に m³
「断面係数（Z）も同じく mm³」なので単位だけでは見分けがつきません。混同しないよう「何の値か」を意識しながら計算するのが大事。
符号の扱い
軸の片側にある微小面積は正、反対側は負と扱います。
- 軸の上側：y > 0
- 軸の下側：y < 0
重心軸を選べば、上側と下側で打ち消し合って S = 0 になります。これが断面一次モーメントの最も重要な性質です。
計算方法（具体例）
実際の図形で計算してみると、感覚が掴めます。
例題1：長方形断面
幅 b、高さ h の長方形断面で、底辺を X軸にとる場合を考えます。
- 断面積：A = b × h
- 重心の y 座標：y_g = h/2
- 断面一次モーメント：S_x = A × y_g = b × h × (h/2) = bh²/2
「面積 × 重心までの距離」がそのまま使える、というのが断面一次モーメントの便利なところです。
例題2：T形断面
幅 b₁、高さ h₁ のフランジ + 幅 b₂、高さ h₂ のウェブのT形断面を、ウェブの底辺を X軸にして計算してみます。
| 領域 | 面積 A_i | 重心 y_i | A × y |
|---|---|---|---|
| フランジ（上） | b₁ × h₁ | h₂ + h₁/2 | A_i × y_i |
| ウェブ（下） | b₂ × h₂ | h₂/2 | A_i × y_i |
合計 S_x = (b₁ × h₁) × (h₂ + h₁/2) + (b₂ × h₂) × (h₂/2)
具体例：b₁=200mm、h₁=20mm、b₂=20mm、h₂=200mm の場合：
- フランジ：200 × 20 = 4,000mm²、y_g = 200 + 10 = 210mm → 4,000 × 210 = 840,000mm³
- ウェブ：20 × 200 = 4,000mm²、y_g = 100mm → 4,000 × 100 = 400,000mm³
- 合計 S_x = 1,240,000mm³
「領域ごとに分けて、面積 × 重心の y 座標を足す」という流れさえ掴めば、複雑な断面でも処理できます。
例題3：円形断面（半円）
半円（半径 R、平らな辺をX軸）の断面一次モーメントは積分が必要で、結果は：
S_x = (2/3) × R³
円形・半円・台形のような曲線部分があると積分計算になりますが、構造力学の試験ではあらかじめ表で与えられることがほとんどです。
重心の求め方との関係
断面一次モーメントの最大の使い道は、重心の求め方です。
重心の公式
複合断面の重心は以下の式で求まります。
y_g = S_x / A（X軸からの距離）
- y_g：重心の y 座標
- S_x：X軸まわりの断面一次モーメント
- A：断面積
つまり「断面一次モーメントを断面積で割れば重心が出る」。
例題2（T形）の重心計算
先ほどのT形断面（S_x = 1,240,000mm³、A = 8,000mm²）で重心を求めると：
y_g = 1,240,000 ÷ 8,000 = 155mm（ウェブ底辺から）
「ウェブ底辺から155mm上」が重心位置となり、ここを通る水平軸が重心軸です。
重心軸では S = 0
断面一次モーメントは重心軸を選ぶとゼロになります。これは、
- 重心軸より上側の S（プラス）
- 重心軸より下側の S（マイナス）
がぴったり打ち消し合うため。重心は「上下の S が等しくなる位置」と言い換えることもできるわけです。
重心の求め方をさらに学ぶ
重心の求め方そのものは別記事で詳しく整理しています。
断面二次モーメントとの違い
混同されがちなのが断面二次モーメント（I）との関係。
一次と二次の比較
| 項目 | 断面一次モーメント | 断面二次モーメント |
|---|---|---|
| 記号 | S（または Q） | I |
| 公式 | S = ∫ y dA | I = ∫ y² dA |
| 単位 | mm³ | mm⁴ |
| 距離の効き方 | 1乗 | 2乗 |
| 重心軸では | 0 | 最小値 |
| 用途 | 重心位置の計算 | 曲げ剛性・たわみ計算 |
| 機能 | 「位置」を表す | 「強さ」を表す |
「一次=位置、二次=強さ」と覚えると整理が楽。
断面二次モーメントは「曲げにどれくらい強いか」
断面二次モーメントは梁が曲げに対してどれだけ抵抗できるかを表す量。距離が2乗で効くので、断面の外側に材を配置するほど I が大きくなる性質があります。これがH形鋼のフランジを上下に大きく取る理由です。
断面二次モーメントの詳細はこちらでも整理しています。
断面係数（Z）との関係
断面係数 Z は、断面二次モーメントを縁端距離で割った値。
- Z = I / (h/2)（長方形断面の場合）
- 単位：mm³（一次モーメントと同じ単位）
ここで一次・二次・係数の3つが整理しないと混乱します。
| 量 | 公式 | 単位 | 機能 |
|---|---|---|---|
| 断面一次モーメント S | ∫ y dA | mm³ | 重心計算 |
| 断面二次モーメント I | ∫ y² dA | mm⁴ | たわみ・剛性 |
| 断面係数 Z | I / e | mm³ | 曲げ応力度 |
S と Z は単位が同じなので、問題文で何を求められているかの読み取りが必須です。
断面係数の話はこちらでも整理しています。
実務での使い道
断面一次モーメントは「重心を求める道具」というイメージが強いですが、実は他にも使い道があります。
せん断応力度の計算（τ = SQ / (Ib)）
梁の任意位置のせん断応力度を求める式です。
τ = S × Q / (I × b)
- τ：せん断応力度
- S：せん断力
- Q：その点より上（または下）の部分の断面一次モーメント
- I：断面二次モーメント
- b：その点での断面幅
ここで Q が登場します。「全体の断面一次モーメント」ではなく、「注目する点より片側の部分だけの断面一次モーメント」を使うのがポイント。フランジ取り合い部やウェブの中立軸付近のせん断応力度を計算するときに必須です。
重心位置を確認する場面
合成断面（鋼+コンクリート、複数の鉄骨を組合せた断面）で重心を求める時、断面一次モーメントの計算が直接効いてきます。
- 鉄骨フランジ補強材の付加で重心がずれる
- 合成梁（スラブ+鉄骨）の中立軸位置
- T形梁・L形断面の鉄筋配筋位置
「重心軸を求めて、そこから二次モーメントを計算する」という流れで、必ず一次モーメントが先に必要になります。
H形鋼・I形断面の慣性主軸
H形鋼やI形断面の重心を求めるとき、対称性が高い場合は形状中心が重心ですが、非対称断面（不等辺アングルなど）では一次モーメントを使って重心を求めなければなりません。
H形鋼やI形鋼の話はこちらの記事で。
構造設計の流れにおける位置
構造設計の中で断面一次モーメントは以下の順で登場します。
- 断面形状の決定
- 断面一次モーメント S を計算 → 重心軸を求める
- 重心軸まわりの断面二次モーメント I を計算
- 断面係数 Z = I/e を計算
- 応力度 σ = M/Z で許容応力度と比較
- たわみ δ ∝ 1/I でたわみチェック
断面一次モーメントは「最初の1ステップ」で、ここで重心位置が決まらないと、その後の二次モーメント・断面係数の計算もできません。地味だけど一番上流の計算と言える存在です。
曲げモーメント図の書き方はこちらでも整理しています。
施工管理視点での意義
施工管理として断面一次モーメントを直接計算する場面はほぼありません。ただし、鉄骨建方や合成梁の補強設計で構造担当との会話があるときに、
- 「フランジ補強で重心がずれる」
- 「断面性能（一次・二次）が変わる」
という会話が出てきます。重心の話なんだな、と腑に落ちるだけでも、構造担当との打合せで一段話に追いつけるはずです。
断面一次モーメントに関する情報まとめ
- 断面一次モーメントとは：ある軸から各微小面積までの距離×面積を全断面で積分した値（S = ∫ y dA）
- 公式：S_x = Σ A_i × y_i（複合断面の場合）
- 単位：mm³（断面係数Zと同じ単位なので注意）
- 重心との関係：y_g = S / A、重心軸まわりでは S = 0
- 二次モーメントとの違い：一次は「位置」、二次は「強さ」、距離の効き方が1乗 vs 2乗
- 実務での使い道：せん断応力度（τ=SQ/Ib）、合成断面の重心、構造設計の最上流ステップ
- 施工管理視点：構造担当との会話で「重心がずれる話」と把握できれば十分
以上が断面一次モーメントに関する情報のまとめです。
断面一次モーメントは「重心を求めるための積分量」と一言で覚えればOK。重心が決まれば二次モーメント・断面係数・許容応力度の計算が連鎖的に進み、構造設計が成立します。「距離 × 面積を断面全体で足す」というシンプルな発想を理解しておけば、構造力学の最初の関門を一段クリアできるはずです。
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