- 整式って結局なに？多項式と何が違うの？
- 単項式・多項式・整式、言葉が多くて混乱する
- 次数とか係数って何だっけ？
- 分数やルートが入ったら整式じゃないの？
- 「降べきの順」って何のためにやるの？
- 整式って構造計算のどこで使うの？
- 数学アレルギーだけど最低限どこ押さえればいい？
上記の様な悩みを解決します。
整式は、建築士や施工管理技士の勉強で構造力学のテキストを開くと、序盤にしれっと出てくる数学用語です。「整式を降べきの順に整理せよ」みたいな問題で手が止まった人も多いはず。ただ、整式そのものは中学〜高校数学の基礎の組み直しでしかなく、構造計算で何に化けるかを押さえれば一気に怖くなくなります。今回は定義・多項式との違い・整理の仕方といった基本を押さえた上で、数学専門サイトがまず触れない「整式が構造計算のどこで使われるか」まで、建築の文脈に翻訳して整理しました。
なるべく分かりやすい表現で記事をまとめていくので、初心者の方にも理解しやすい内容になっているかなと思います。
それではいってみましょう！
整式とは？
整式とは、結論「数や文字のかけ算だけでできた“項”を、たし算・ひき算でつないだ式」のことです。
もう少しかみ砕くと、3x² + 2x − 5 のように、文字の右肩に付くのは0以上の整数の指数だけで、文字で割っていない（分母に文字がいない）、ルートも三角関数も付いていない、そういう素直な式が整式です。逆に言えば、整式は数学の式の中でも一番おとなしい部類で、構造計算の式の大半はこの整式の形をしています。
教科書だと「単項式と多項式をまとめて整式という」と書かれていて、これが最初の混乱ポイントなんですが、まずは「足し算・引き算でつながった素直な式」という大づかみのイメージで十分です。細かい用語は次の章で整理します。
建築で扱う数学の全体像が不安な人は、こちらも合わせて読むと位置づけが掴めます。
僕の感覚だと、整式は「構造計算の式を読み書きするための文法」みたいなもので、単語（用語）を一つずつ拾うより、式全体の形で覚えてしまうほうが建築人にはしっくりきます。
整式を作る言葉を整理する（項・単項式・多項式・次数・係数）
整式まわりの用語は数が多くて、ここで脱落する人が一番多いです。ただ、覚えるのは5語だけで、それぞれの関係は単純です。次の5つを押さえれば整式の話はほぼ読めます。
- 項（こう）：式をたし算・ひき算で区切った、ひとかたまり。3x² + 2x − 5 なら 3x²・2x・−5 の3つ
- 単項式：項が1つだけの式。3x² や 5ab のように、数と文字のかけ算だけでできている
- 多項式：単項式（項）を2つ以上たし算・ひき算でつないだ式。3x² + 2x − 5
- 係数：項の中の「数の部分」。3x² なら係数は3
- 次数：項の中で、かけ合わされている文字の個数。3x² は次数2、5abc は次数3
数だけの項（−5 など）は「定数項」と呼び、次数は0として扱います。そして整式全体の次数は、含まれる項のうち最大の次数を指します。3x² + 2x − 5 なら最大次数は2なので、これは「2次式」です。
2次式まわりは構造計算でもよく顔を出すので、別記事で深掘りしています。
現場目線で言えば、ここで完璧な定義の暗記は要りません。「項＝かたまり」「次数＝文字が何回かけられてるか」「係数＝前の数字」の3点だけ体に入れておけば、構造力学のテキストで詰まることはほぼ無くなります。
整式と多項式の違い
整式と多項式は、ほとんど同じものを指していて、これが混乱の正体です。違いを整理すると次のようになります。
数学の主流の流儀では「多項式＝整式」で、単項式も項が1つの多項式とみなします。この立場だと、整式と多項式は完全に同じ言葉です。一方で「項が2つ以上のものだけを多項式と呼び、項が1つなら単項式」と区別する流儀もあります。この立場だと、整式は単項式と多項式の両方を含む“親”の言葉になります。
| 言葉 | 主流の定義 | もう一つの流儀 |
|---|---|---|
| 単項式 | 項が1つの式（多項式の一種） | 項が1つの式 |
| 多項式 | 整式と同じ（単項式も含む） | 項が2つ以上の式だけ |
| 整式 | 多項式と同じ | 単項式と多項式をまとめた総称 |
どちらの流儀でも、3x² + 2x − 5 のような式が整式かつ多項式である点は変わりません。試験で困らない覚え方としては、「整式＝単項式も多項式もぜんぶ含む一番広い言葉」「迷ったら多項式とほぼ同義」でOKです。
個人的には、建築士・施工管理技士の勉強で「単項式か多項式か」の厳密な線引きが問われる場面はほぼ無いので、ここは深追いせず「整式という大きな箱がある」とだけ理解しておけば十分だと考えています。
整式ではない式（ここが意外と引っかかる）
整式の定義より、「整式ではない式」を知っておくほうが実戦では速いです。次の3パターンは整式に見えて整式ではありません。
- 分母に文字がある式：1/x や (x+1)/x のように文字で割っている式。これは「分数式（有理式）」で整式ではない
- ルート（根号）の中に文字がある式：√x のように、文字が0以上の整数乗になっていない式。√x は x^(1/2) なので整式ではない
- 文字に関数が付いた式：sin x・cos x・log x・eˣ のように、三角関数や対数・指数関数がかかった式は整式ではない
ポイントは「文字の右肩に付く指数が0以上の整数か」と「文字で割っていないか」の2点です。x² や x³ はOK、x^(1/2)（＝√x） や x^(−1)（＝1/x） はNG、という線引きです。
弾性率やヤング率のように、定義式の中に割り算が出てくる量もありますが、こうした「割り算が入る量」は整式ではなく分数式として扱われる、と整理しておくと混乱しません。
実務だと、構造計算の式に三角関数（屋根勾配の角度など）が混じることは普通にあります。その瞬間その式は「整式ではなくなる」わけですが、計算の手順自体が変わるわけではないので、神経質になる必要はありません。「整式かどうか」は式の素直さのラベルくらいに思っておけば大丈夫です。
整式の整理（降べきの順・昇べきの順）
構造力学のテキストで「整式を整理せよ」と出てきたら、やることは2つです。同じ次数の項（同類項）をまとめて、次数の順に並べ替える。これだけです。
並べ替えには2つの向きがあります。次のどちらで並べるかは問題文の指示か慣習で決まります。
- 降べきの順：次数の大きい項から小さい項へ並べる。5 − 2x + 3x² → 3x² − 2x + 5
- 昇べきの順：次数の小さい項から大きい項へ並べる。3x² − 2x + 5 → 5 − 2x + 3x²
なぜわざわざ整理するかというと、式の「次数（＝何次式か）」と「最高次の係数」が一目で分かるからです。構造計算では、式が何次式かによって解き方や近似の仕方が変わるので、降べきの順に整理しておくと「これは2次式だな」「最高次の係数はこれだな」と即座に判断できます。
文字が2種類以上あるとき（x と y が混在など）は、「どの文字について整理するか」を先に決めて、その文字の次数で並べ替えます。例えば「x について降べきの順」と言われたら、x の次数だけを見て並べ、y は係数の一部として扱います。
僕の整理では、降べきの順は「式の素性を見やすくする下ごしらえ」です。料理で材料を切り揃えるのと同じで、整理してから計算に入ると、検算もミスの発見も格段に楽になります。文系出身で式変形が不安な人ほど、まず降べきの順に直す癖をつけると安定します。
整式は構造計算でどう使われるか
ここが、数学専門サイトがまず触れないところです。整式は受験数学の中だけの話ではなく、建築の構造計算で使う式のほとんどが整式の形をしています。代表例を挙げます。
- 曲げモーメントの式：単純梁に等分布荷重が載るときの曲げモーメント M = wx(L−x)/2 は、展開すると x の2次式（整式）
- 応力度の式：垂直応力度 σ = N/A、曲げ応力度 σ = M/Z など、断面の量で割る形は分数式だが、分子のN・Mはそれ自体が整式
- 断面係数・断面二次モーメント：長方形断面なら I = bh³/12、Z = bh²/6 で、b・hについての整式
- たわみの式：梁のたわみは位置 x の3次・4次の整式として表れる
- 地震力やせん断力の分布：位置に対して1次・2次の整式で表されることが多い
つまり、整式の整理（降べきの順）や次数の概念は、そのまま「曲げモーメント図やたわみ曲線が何次の曲線になるか」を読む力につながります。等分布荷重なら曲げモーメントは2次曲線（放物線）、集中荷重なら1次（直線）になる、という現場でよく聞く話の数学的な裏側が、まさに整式の次数です。
このあたりは構造力学の公式とセットで眺めると腹落ちします。
正直なところ、整式を「数学の単元名」として覚えても建築人にはピンと来ません。「構造計算の式は基本ぜんぶ整式で、次数を見ればその式のクセが分かる」という入り口で捉えると、勉強のモチベーションも続きやすいです。応力そのものの理解も合わせて進めると効率的です。
整式に関するよくある質問
整式まわりで、勉強中につまずきやすい質問をまとめます。
整式と多項式は同じですか、という質問が一番多いです。主流の数学では同じものと考えてよく、迷ったら「ほぼ同義」で問題ありません。厳密には整式が単項式と多項式を含む総称とする流儀もありますが、建築士・施工管理技士の試験で線引きそのものが問われることはほぼ無いです。
数だけの式（5 など）は整式ですか、という質問もよくあります。これは次数0の整式（定数項だけの整式）として扱うので、整式です。
建築士の試験で「整式」という用語そのものが出ますか、と聞かれることもあります。整式という言葉が直接問われるより、構造力学の計算過程で整式の整理や次数の判断を使う、という形で出てくるのが実態です。だからこそ、用語の暗記より「式を整理できる・次数を判断できる」状態を作るほうが得点に直結します。
数学が苦手でどこから手を付ければいいか、という相談には、まず展開公式と因数分解を押さえるのがおすすめです。整式の計算はこの2つが土台になります。
整式に関する情報まとめ
- 整式とは：数や文字のかけ算でできた項を、たし算・ひき算でつないだ素直な式
- 用語：項＝かたまり、単項式＝項1つ、多項式＝項2つ以上、係数＝数の部分、次数＝文字の個数
- 整式と多項式の違い：主流の数学ではほぼ同義。整式は最も広い箱と覚えればOK
- 整式でない式：分数式（文字で割る）、無理式（√の中に文字）、三角・対数・指数が付いた式
- 整式の整理：同類項をまとめ、降べき／昇べきの順に並べ替える。次数と最高次係数が見やすくなる
- 構造計算での使い方：曲げモーメント・応力度の分子・断面係数・たわみの式はすべて整式。次数が式のクセを表す
以上が整式に関する情報のまとめです。
一通り整式の基礎知識は網羅できたかなと思います。整式は単体で覚えるより「構造計算の式の土台」として捉えると、構造力学の勉強がぐっと楽になります。次は2次式や構造力学の公式とつなげて、式の次数から構造の挙動を読む練習に進んでみてください。